5학년 2학기 수학, 이렇게 준비하세요 | 단원별 핵심 정리와 학습 준비

5학년 2학기는 1학기에서 배운 분수의 덧셈과 뺄셈, 도형의 넓이, 약수와 배수 등의 개념을 토대로, 소수의 곱셈과 나눗셈, 입체도형의 구조, 평균과 가능성으로 학습을 확장하는 시기입니다.

저학년 때는 수를 묶거나 길이를 재고, 컴퍼스로 원을 그리며 손으로 배우던 수학이었다면, 이제는 그 기초 개념을 토대로 입체도형의 겨냥도와 전개도, 약분·통분·소수의 곱셈처럼 원리를 이해하는 수학으로 나아갑니다.

방학은 아이가 쉬는 시간이지만, 동시에 1학기에서 부족했던 계산력과 개념 이해를 보완하고 2학기의 심화 학습을 준비할 수 있는 좋은 기회입니다. 이 시기를 잘 보내면 6학년의 비와 비율, 분수·소수의 나눗셈, 직육면체의 부피와 겉넓이 단원을 훨씬 수월하게 이해할 수 있으며, 반대로 5학년 2학기에서 놓친 부분이 있으면 이후 학년의 연산과 문제 해결에서 큰 어려움을 겪게 됩니다.

 

 

수학은 나선형 학습입니다

수학은 앞서 배운 개념을 바탕으로 다음 단계로 확장되는 나선형 구조를 가지고 있습니다. 같은 주제를 학년마다 반복하지만, 범위와 깊이가 점점 넓어집니다.

수 개념

• 3학년 2학기: 분수의 활용, 소수와 연결
• 4학년 2학기: 분수와 소수의 덧셈과 뺄셈 (분수와 소수의 계산으로 확장)
• 5학년 1학기: 약수와 배수, 분수의 덧셈과 뺄셈 (약분, 통분)
• 5학년 2학기: 수의 범위 어림하기 (이상·이하·초과·미만 / 올림·버림·반올림)

 

곱셈과 나눗셈

• 3학년 2학기: 곱셈·나눗셈 확장, 몫과 나머지까지 구하기
• 4학년 2학기: 분수의 곱셈 도입 전 단계로, 분수와 소수의 계산 기반 다지기
• 5학년 2학기: 분수의 곱셈, 소수의 곱셈

 

도형

• 3학년 2학기: 원의 성질(반지름, 지름, 원의 특징)
• 4학년 1학기: 각의 크기 재기, 직각·예각·둔각, 평행·수직 이해
• 4학년 2학기: 여러 가지 삼각형과 사각형의 성질, 다각형과 대각선 탐구
• 5학년 1학기: 다각형의 둘레와 넓이 (정다각형의 둘레, 사각형의 둘레, 직사각형의 넓이, 제곱센티미터~제곱킬로미터)
• 5학년 2학기: 합동과 대칭 (선대칭도형, 점대칭도형 / 대칭축, 대응점, 대응각, 대응변), 직육면체·정육면체(겨냥도, 전개도)

 

자료와 측정

• 2학년 2학기: 표와 그래프
• 3학년 2학기: 그림그래프, 들이와 무게
• 4학년 2학기: 꺾은선그래프 (시간의 흐름에 따른 변화 파악)
• 5학년 2학기: 평균과 가능성

이처럼 5학년 2학기는 앞 단계에서 익힌 분수와 소수의 개념을 곱셈·나눗셈으로 확장하고, 평면도형에서 입체도형으로, 정적인 자료에서 변화와 규칙이 있는 자료로 확장하는 중요한 시기입니다. 따라서 새로운 내용을 빠르게 예습하기보다, 5학년 1학기에서 다뤘던 내용들을 충분히 복습해 두는 것이 2학기 학습의 가장 좋은 출발점이 됩니다.

 

 

 

 

5학년 2학기 수학 단원별 정리

1단원. 수의 범위와 어림하기

이상

🟨과 같거나 큰 수를 🟨 이상인 수라고 합니다.

예) 15 이상인 수: 15.0, 17.2, 18.5 등과 같이 15와 같거나 큰 수

- 🟨 이상인 수는 셀 수 없이 많습니다.

 

이하

🟪과 같거나 작은 수를 🟪 이하인 수라고 합니다.

예) 37 이하인 수: 31.2, 33.4, 36.8 등과 같이 37보다 같거나 작은 수

- 이상인 수와 이하인 수에는 경계값(기준이 되는 숫자 자신)이 포함됩니다.

- 수직선에 표시할 때는 경계값에 점 ●을 찍어 그 수가 포함됨을 나타냅니다.

 

초과

🟠보다 큰 수를 🟠 초과인 수라고 합니다.

예) 33 초과인 수: 33.1, 36.5, 42.7 등과 같이 33보다 큰 수

 

- 🟠 초과인 수는 셀 수 없이 많습니다.

 

미만

🟢보다 작은 수를 🟢 미만인 수라고 합니다.

예) 16 미만인 수: 12.4, 14.2, 15.9 등과 같이 16보다 작은 수

- 초과인 수와 미만인 수에는 경계값(기준이 되는 숫자 자신)이 포함되지 않습니다.

- 수직선에 표시할 때는 경계값이 포함되지 않으므로 안쪽이 비어있는 점 ○을 찍어 나타냅니다.

 

수의 범위를 활용하여 문제 해결하기

예) 체력장 점수가 68점인 시하가 어느 등급에 속하는지 알아보기

등급	점수
1	80점 이상
2	50점 이상 79점 이하
3	32점 이상 49점 이하
4	10점 이상 31점 이하
5	9점 이하

 

➔ 시하의 점수인 68점은 50점 이상 79점 이하에 속하므로 2등급입니다.

 

수의 범위를 수직선에 나타내기

(이상과 이하는 점 ●을, 초과와 미만은 점 ○을 이용하여 나타낸 후 두 점을 연결합니다.)

 

올림

구하려는 자리의 아래 수를 올려서 나타내는 방법을 올림이라고 합니다.

 

예) 327을 올림하여 나타내기

 - 올림하여 십의 자리까지 나타내기: 327 ➔ 330 (십의 자리 아래 수인 7을 10으로 봅니다.)

 - 올림하여 백의 자리까지 나타내기: 327 ➔ 400 (백의 자리 아래 수인 27을 100으로 봅니다.)

 

어떤 수를 올림하여 나타낼 때 구하려는 자리의 아래 수가 0이 아니면, 구하려는 자리의 숫자에 1을 더하고, 구하려는 자리의 아래 수를 0으로 나타냅니다.

 

버림

구하려는 자리의 아래 수를 버려서 나타내는 방법을 버림이라고 합니다.

 

예) 653을 버림하여 나타내기

 - 버림하여 십의 자리까지 나타내기: 653 ➔ 650 (십의 자리 아래 수인 3을 10으로 봅니다.)

 - 버림하여 백의 자리까지 나타내기: 653 ➔ 600 (백의 자리 아래 수인 53을 100으로 봅니다.)

 

어떤 수를 버림하여 나타낼 때 구하려는 자리의 숫자는 그대로 두고, 구하려는 자리의 아래 수를 0으로 나타냅니다.

 

반올림

구하려는 자리 바로 아래 자리의 숫자가 0, 1, 2, 3, 4이면 버리고, 5, 6, 7, 8, 9이면 올려서 나타내는 방법을 반올림이라고 합니다.

 

예) 428을 반올림하여 나타내기

 - 반올림하여 십의 자리까지 나타내기: 428 ➔ 430 (일의 자리 숫자가 8이므로 올림합니다.)

 - 반올림하여 백의 자리까지 나타내기: 428 ➔ 400 (십의 자리 숫자가 2이므로 버림합니다.)

 

올림과 버림은 구하려는 자리의 아래 수를 모두 확인해야 하지만 반올림은 구하려는 자리 바로 아래 자리의 숫자만 확인하면 됩니다.

 

올림, 버림, 반올림을 활용하여 문제 해결하기

예) 감자 426상자를 트럭에 모두 실어 운반하려고 합니다. 트럭 한 대에 100상자씩 실을 수 있을 때 트럭은 최소 몇 대 필요합니까?

① 올림, 버림, 반올림 중에서 어떤 방법으로 어림해야 하는지 구하기

➔ 트럭 한 대에 감자를 100상자씩 실을 수 있으므로 모두 실으려면 426상자를 500상자로 올림해야 합니다.

 

② 트럭이 최소 몇 대 필요한지 구하기

➔ 트럭은 최소 500 ÷ 100 ＝ 5(대)가 필요합니다.

 

생활 속에서 올림, 버림, 반올림을 이용하는 경우

- 올림: 일정한 묶음이나 일정한 단위로 파는 물건을 부족하지 않게 사야 하는 경우

- 버림: 일정한 묶음이나 일정한 단위로 물건을 포장할 때 포장할 수 있는 물건의 수를 구하는 경우

- 반올림: 단위에 따라 길이, 거리, 무게 등을 측정하는 경우

 

 

4학년 2학기와의 연결

이 단원에서는 수의 범위를 이상·이하·초과·미만으로 나타내는 방법을 배우고, 올림·버림·반올림을 활용하여 수를 어림하는 방법을 익힙니다.
이 과정에서 3·4학년 때 다뤘던 소수가 잠깐 등장하는데, 이는 자연수와 자연수 사이에도 무수히 많은 수가 있다는 사실을 이해하기 위한 보조 개념으로만 활용됩니다.

 

점검 포인트

💜 이상(≥), 이하(≤), 초과(>), 미만(<)의 의미를 구분할 수 있는지 확인합니다.
💜 주어진 범위를 수직선 위에 정확히 표시할 수 있는지 살펴봅니다.
💜 올림, 버림, 반올림을 적용하여 수를 상황에 맞게 어림할 수 있는지 점검합니다.
💜 실제 생활 문제(가격 계산, 인원 파악 등)에 어림하기를 적용할 수 있는지 확인합니다.

 

지도 방법

기초 확인: 4학년에서 배운 수의 크기 비교와 수직선 활용 방법을 간단히 복습합니다.
범위 표현: 이상·이하·초과·미만을 실제 수직선 위에 표시하며 개념 차이를 분명히 이해하게 합니다.
어림하기 연습: 올림·버림·반올림을 다양한 수에 적용해 보고, 자릿수에 따라 달라지는 결과를 직접 경험하게 합니다.
실생활 연결: 버스를 몇 대 준비해야 하는지, 물건 값 계산을 어떻게 어림할지 등 구체적인 상황을 통해 학습의 필요성을 느끼게 합니다.
단계별 문제: 범위 표현 → 수직선 표시 → 어림하기 → 생활 속 문제 해결 순으로 학습 단계를 확장합니다

 

 

 

 

2단원. 분수의 곱셈

(진분수)×(자연수)

분수의 분모는 그대로 두고 분자와 자연수를 곱합니다.

 

(대분수)×(자연수)

 

(자연수)×(진분수)

분수의 분모는 그대로 두고 자연수와 분자를 곱합니다.

➔ 🟧와 진분수를 곱하면 계산 결과는 🟧보다 작아집니다.

 

(자연수)×(대분수)

➔ 🟦와 대분수를 곱하면 계산 결과는 🟦보다 커집니다.

 

(단위분수)×(단위분수)

분자 1은 그대로 두고 분모끼리 곱합니다.

➔ 단위분수끼리 곱한 결과는 곱하기 전의 두 단위분수보다 항상 작습니다.

 

(진분수)×(진분수)

분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱합니다.

➔ (진분수)×(진분수)에서 두 분수의 순서를 바꾸어 곱해도 계산 결과는 같습니다.

 

(대분수)×(대분수)

대분수를 가분수로 나타낸 후 분자는 분자끼리, 분모는 분모끼리 곱합니다.

 

세 분수의 곱셈

세 분수의 곱셈은 곱하는 순서를 바꾸어도 계산 결과가 같으므로 계산하기 쉬운 두 분수를 먼저 계산해도 됩니다.

 

 

1학기와의 연결

3학년 1학기에는 처음으로 분수를 배우며, 전체를 똑같이 나눈 것 중의 일부를 분수로 나타내는 방법을 익혔습니다. 3학년 2학기에는 분수를 수직선 위에 나타내고, 크기를 비교하면서 분수의 기본 개념을 다졌습니다.
4학년 2학기에는 분수의 덧셈과 뺄셈을 배우고, 5학년 1학기에는 분모가 다른 분수를 통분하여 더하고 빼는 방법까지 확장했습니다.

5학년 2학기에는 이러한 기초를 바탕으로 분수의 곱셈을 학습합니다. 분자와 자연수, 분자와 분자, 분모와 분모를 곱하는 과정을 통해 약분하기를 이용한 계산 방법을 이해하고, 대분수나 세 분수의 곱셈으로 확장하며 계산의 원리를 탐구합니다.

점검 포인트

💜 분수의 곱셈에서 ‘분모는 그대로 두고, 분자와 수를 곱한다’는 원리를 이해하는지 확인합니다.
💜 자연수와 분수, 분수와 분수, 대분수와 분수 등 다양한 상황에서 곱셈을 정확히 계산할 수 있는지 살펴봅니다.
💜 약분 과정을 계산 전·후에 적용하여 바르게 활용할 수 있는지 확인합니다.
💜 계산 결과를 대분수 또는 기약분수 형태로 바꾸어 나타낼 수 있는지 점검합니다.
💜 곱셈의 결과가 ‘원래 수보다 커지는지, 작아지는지’를 설명할 수 있는지 확인합니다.

 

지도 방법

기초 확인: 3·4학년 때 배운 분수의 크기 비교, 덧셈·뺄셈 개념을 다시 떠올리게 합니다.
시각 자료 활용: 그림 분수, 수직선, 조각 모형을 사용해 분수의 곱셈 상황(예: 5/6 × 3)을 시각적으로 보여줍니다.
약분 활동: 계산 전과 후의 약분 과정을 비교하여 더 효율적인 계산 방법을 찾도록 합니다.
점진적 확장: (진분수 × 자연수)에서 시작해 (자연수 × 진분수), (대분수 × 자연수), (분수 × 분수)로 단계적으로 학습을 확장합니다.
실생활 연결: 요리 재료 비율, 도형 색칠, 비율 문제 등 실생활 맥락 속에서 분수의 곱셈을 적용해 보게 합니다.

 

 

 

 

3단원. 합동과 대칭

도형의 합동

(1) 모양과 크기가 같아서 포개었을 때 완전히 겹치는 두 도형을 서로 합동이라고 합니다.

(2) 서로 합동인 도형 만들기

 

- 두 도형의 모양이 같아도 크기가 다르면 서로 합동이 아닙니다.

 

대응점, 대응변, 대응각

서로 합동인 두 도형을 포개었을 때 완전히 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 합니다. ➔ 서로 합동인 두 ★각형에서 대응점, 대응변, 대응각은 각각 ★쌍 있습니다.

 

합동인 도형의 성질

서로 합동인 두 도형에서

① 각각의 대응변의 길이가 서로 같습니다.

② 각각의 대응각의 크기가 서로 같습니다.

 

위의 도형에서 서로 합동인 두 도형의 성질 알아보기

① (변 ㄱㄴ)＝(변 ㄹㅁ), (변 ㄴㄷ)＝(변 ㅁㅂ), (변 ㄱㄷ)＝(변 ㄹㅂ)

② (각 ㄱㄴㄷ)＝(각 ㄹㅁㅂ), (각 ㄱㄷㄴ)＝(각 ㄹㅂㅁ), (각 ㄴㄱㄷ)＝(각 ㅁㄹㅂ)

 

선대칭도형

- 한 직선을 따라 접었을 때 완전히 겹치는 도형을 선대칭도형이라고 합니다. 이때 그 직선을 대칭축이라고 합니다.

- 대칭축을 따라 접었을 때 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 합니다.

  ➔ 선대칭도형의 대칭축은 1개일 수도 있고, 여러 개일 수도 있습니다.

 

선대칭도형의 성질

① 각각의 대응변의 길이가 서로 같습니다.

(변 ㄱㄴ)＝(변 ㅁㄹ), (변 ㄴㄷ)＝(변 ㄹㄷ), (변 ㄱㅂ)＝(변 ㅁㅂ)

 

② 각각의 대응각의 크기가 서로 같습니다.

(각 ㄱㄴㄷ)＝(각 ㅁㄹㄷ), (각 ㅂㄱㄴ)＝(각 ㅂㅁㄹ)

 

➔ 사각형 ㄱㄴㄷㅂ과 사각형 ㅁㄹㄷㅂ은 서로 합동입니다.

 

선대칭도형의 대응점끼리 이은 선분과 대칭축 사이의 관계

① 대응점끼리 이은 선분은 대칭축과 수직으로 만납니다.

② 대칭축은 대응점끼리의 이은 선분을 둘로 똑같이 나누므로 각각의 대응점에서 대칭축까지의 거리가 서로 같습니다.

➔ 선대칭도형의 대응점끼리 이은 선분과 대칭축 사이의 관계를 그림으로 알아보면 아래와 같습니다.

(선분 ㄴㅅ)＝(선분 ㅂㅅ), (선분 ㄷㅇ)＝(선분 ㅁㅇ)

 

선대칭도형 그리기

<선대칭도형 그리는 방법>

① 점 ㄴ에서 대칭축 ㅁㅂ에 수선을 긋고, 대칭축과 만나는 점을 찾아 점 ㅅ으로 표시합니다.

② 이 수선에 선분 ㄴㅅ과 길이가 같은 선분 ㅇㅅ이 되도록 점 ㄴ의 대응점을 찾아 점 ㅇ으로 표시합니다.

③ 위와 같은 방법으로 점 ㄷ의 대응점을 찾아 점 ㅈ으로 표시합니다.

④ 점 ㄹ과 점 ㅈ, 점 ㅈ과 점 ㅇ, 점 ㅇ과 점 ㄱ을 차례로 이어 선대칭도형이 되도록 그립니다.

➔ 대칭축 위에 있는 꼭짓점은 대응점이 그 점과 같습니다.

 

점대칭도형

- 한 도형을 어떤 점을 중심으로 180º 돌렸을 때 처음 도형과 완전히 겹치면 이 도형을 점대칭도형이라고 합니다. 이때 그 점을 대칭의 중심이라고 합니다.

- 대칭의 중심을 중심으로 180º 돌렸을 대 겹치는 점을 대응점, 겹치는 변을 대응변, 겹치는 각을 대응각이라고 합니다.

➔ 점대칭도형에서 대칭의 중심은 항상 1개이며, 대응점끼리 이은 선분들이 만나는 점이 대칭의 중심입니다.

 

점대칭도형의 성질

① 각각의 대응변의 길이가 서로 같습니다.

(변 ㄱㄴ)＝(변 ㄷㄹ), (변 ㄴㄷ)＝(변 ㄹㄱ)

 

② 각각의 대응각의 크기가 서로 같습니다.

(각 ㄱㄴㄷ)＝(각 ㄷㄹㄱ), (각 ㄹㄱㄴ)＝(각 ㄴㄷㄹ)

 

➔ 대응변, 대응각을 알아볼 때에는 각 점의 대응점을 찾아 차례로 나타냅니다.

 

점대칭도형의 대응점끼리 이은 선분과 대칭의 중심 사이의 관계

대칭의 중심은 대응점끼리 이은 선분을 둘로 똑같이 나누므로 각각의 대응점에서 대칭의 중심까지의 거리가 서로 같습니다.

➔ 점대칭도형의 대응점끼리 이은 선분과 대칭의 중심 사이의 관계를 그림으로 알아보면 아래와 같습니다.

(선분 ㄴㅇ)＝(선분 ㄹㅇ), (변 ㄱㅇ)＝(변 ㄷㅇ)

 

점대칭도형 그리기

<점대칭도형 그리는 방법>

① 점 ㄴ에서 대칭의 중심인 점 ㅇ를 지나는 직선을 것습니다.

② 이 직선에 선분 ㄴㅇ과 길이가 같은 선분 ㅂㅇ이 되도록 점 ㄴ의 대응점을 찾아 점 ㅂ으로 표시합니다.

③ 위와 같은 방법으로 점 ㄷ과 점 ㄹ의 대응점을 찾아 점 ㅅ과 점 ㅈ으로 각각 표시합니다.

④ 점 ㄱ의 대응점은 점 ㅁ입니다.

⑤ 점 ㅁ과 점 ㅂ, 점 ㅂ과 점 ㅅ, 점 ㅅ과 점 ㅈ, 점 ㅈ과 점 ㄱ을 차례로 이어 점대칭도형이 되도록 그립니다.

➔ 점대칭도형을 그릴 때에는 대칭의 중심이 대응점끼리 이은 선분을 둘로 똑같이 나눈다는 점을 이용합니다.

 

1학기와의 연결

3학년 2학기에는 원의 성질(반지름, 지름, 원의 특징 등)을 배우며 도형의 기본 성질을 이해했습니다. 4학년 1학기에는 각의 크기를 재고, 직각·예각·둔각과 평행·수직의 개념을 익혔습니다. 4학년 2학기에는 여러 가지 삼각형과 사각형의 성질, 다각형과 대각선을 탐구하며 도형의 구조적 특징을 살펴보았습니다.
5학년 1학기에는 다각형의 둘레와 넓이를 구하는 방법을 배우면서, 도형을 측정하는 활동을 경험했습니다.

5학년 2학기에는 이러한 기초를 바탕으로 합동과 대칭을 학습합니다. 도형의 합동을 통해 두 도형이 정확히 포개지는 조건을 이해하고, 대응점·대응변·대응각의 개념을 다집니다. 또한 선대칭도형과 점대칭도형을 배우면서 대칭축, 대칭의 중심, 대응 관계를 탐구하고 도형의 성질을 종합적으로 정리합니다.

점검 포인트

💜 두 도형이 합동이 되기 위한 조건(모양과 크기 동일)을 이해하는지 확인합니다.
💜 합동 도형의 대응점·대응변·대응각을 정확히 짝지을 수 있는지 살펴봅니다.
💜 선대칭도형에서 대칭축, 점대칭도형에서 대칭의 중심을 올바르게 찾는지 확인합니다.
💜 대칭도형의 성질(대응변의 길이, 대응각의 크기, 대응점까지의 거리)을 설명할 수 있는지 점검합니다.
💜 생활 속 사물과 건축물에서 합동과 대칭을 찾아 설명할 수 있는지 확인합니다.

 

지도 방법

기초 확인: 3·4학년 때 배운 각, 평행·수직, 여러 도형의 성질을 다시 떠올리게 합니다.
시각 자료 활용: 겹쳐보기, 색종이 접기, 칠판 도형 대칭 그리기 등을 통해 합동과 대칭을 직관적으로 이해하도록 합니다.
대응 관계 강조: 도형의 대응점·대응변·대응각을 선명히 표시하며 대응 개념을 반복적으로 지도합니다.
대칭 활동: 거울 대칭, 종이접기, 격자 종이 위 대칭 그리기 활동을 통해 선대칭·점대칭을 체험적으로 익히게 합니다.
실생활 연결: 건물 구조, 교통 표지판, 문양·로고 등에서 합동과 대칭을 찾아보고, 수학적 개념과 연결 지어 설명하도록 합니다.

 

 

 

 

4단원. 소수의 곱셈

(1보다 작은 소수) × (자연수)

예) 0.5 × 5 의 계산

 

① 덧셈식으로 계산하기

0.5 × 5 ＝ 0.5 ＋ 0.5 ＋ 0.5 ＋ 0.5 ＋ 0.5 ＝ 2.5

 

② 0.1의 개수로 계산하기

0.5 × 5 ＝ 0.1 × 5 × 5 ＝ 0.1 × 25 ➔ 0.1이 모두 25개이므로 0.5 × 5 ＝ 2.5 입니다.

 

③ 분수의 곱셈으로 계산하기

 

④ 자연수의 곱셈으로 계산하기

 

 

(1보다 큰 소수) × (자연수)

예) 1.5 × 3 의 계산

 

① 덧셈식으로 계산하기

1.5 × 3 ＝ 1.5 ＋ 1.5 ＋ 1.5 ＝ 4.5

 

② 0.1의 개수로 계산하기

1.5 × 3 ＝ 0.1 × 15 × 3 ＝ 0.1 × 45 ➔ 0.1이 모두 45개이므로 1.5 × 3 ＝ 4.5 입니다.

 

③ 분수의 곱셈으로 계산하기

 

④ 자연수의 곱셈으로 계산하기

 

 

(자연수) × (1보다 작은 소수)

예) 3 × 0.6 의 계산

 

① 분수의 곱셈으로 계산하기

 

② 자연수의 곱셈으로 계산하기

➔ 🟧 × (1보다 작은 소수)의 계산 결과는 🟧보다 작습니다.

 

 

(자연수) × (1보다 큰 소수)

예) 4 × 1.3 의 계산

 

① 분수의 곱셈으로 계산하기

 

② 자연수의 곱셈으로 계산하기

➔ 🟧 × (1보다 큰 소수)의 계산 결과는 🟧보다 큽니다.

 

 

(1보다 작은 소수) × (1보다 작은 소수)

예) 0.4 × 0.7 의 계산

 

① 분수의 곱셈으로 계산하기

 

② 자연수의 곱셈으로 계산하기

 

③ 소수의 크기를 생각하여 계산하기

4 × 7 ＝ 28 인데 0.4 에 0.7 을 곱하면 0.4보다 작은 값이 나와야 하므로 계산 결과는 0.28입니다.

 

<세로로 계산하기>

➔ 자연수처럼 생각하고 계산한 후, 소수의 크기를 생각하여 소수점을 찍습니다.

 

 

(1보다 큰 소수) × (1보다 큰 소수)

예) 1.3 × 1.2 의 계산

 

① 분수의 곱셈으로 계산하기

 

② 자연수의 곱셈으로 계산하기

 

③ 소수의 크기를 생각하여 계산하기

13 × 12 ＝ 156인데 1.3에 1.2를 곱하면 1.3보다 큰 값이 나와야 하므로 계산 결과는 1.56입니다.

 

 

자연수와 소수의 곱셈에서 곱의 소수점 위치

(1) 곱하는 수의 0이 하나씩 늘어날 때마다 곱의 소수점이 오른쪽으로 한 자리씩 옮겨집니다.

예)

1.23 × 10 ＝ 12.3

1.23 × 100 ＝ 123

1.23 × 1000 ＝ 1230

 

(2) 곱하는 소수의 소수점 아래 자리 수가 하나씩 늘어날 때마다 곱의 소수점이 왼쪽으로 한 자리씩 옮겨집니다.

예)

1230 × 0.1 ＝ 123

1230 × 0.01 ＝ 12.3

1230 × 0.001 ＝ 1.23

 

➔ 곱의 소수점을 옮길 자리가 없으면 빈 자리에 0을 채우면서 옮깁니다.

 

 

소수끼리의 곱셈에서 곱의 소수점 위치

곱하는 두 수의 소수점 아래 자리 수를 더한 것과 결과값의 소수점 아래 자리 수가 같습니다.

   (소수 🟪자리 수) × (소수 🔺자리 수) ➔ 소수 ( 🟪 ＋ 🔺 ) 자리 수

예)       0.4           ×           0.03             ＝ 0.012

             ↓                            ↓                        ↓

    소수 한 자리 수           소수 두 자리 수        소수 세 자리 수

 

➔ 곱의 소수점 아래 끝자리가 0인 경우에는 곱의 소수점 위치에 주의합니다.

 

1학기와의 연결

3학년 2학기에는 곱셈과 나눗셈의 범위를 확장하여 여러 자리 수의 곱셈과 나눗셈을 배우고, 몫과 나머지의 개념을 익혔습니다. 4학년 2학기에는 분수의 곱셈 도입 전 단계로, 분수와 소수를 자연수 계산과 연결하는 기초 감각을 다졌습니다.

5학년 2학기에는 이러한 학습을 바탕으로 소수의 곱셈을 다룹니다. 소수와 자연수, 소수끼리의 곱을 다양한 방법으로 계산하며, 자연수 곱셈의 원리를 소수로 확장하고 곱의 크기 변화와 소수점 위치의 규칙을 배웁니다.

점검 포인트

💜 소수와 자연수, 소수끼리의 곱셈을 덧셈식·분수식·자연수식으로 다양하게 나타낼 수 있는지 살펴봅니다.
💜 1보다 작은 소수를 곱했을 때와 1보다 큰 소수를 곱했을 때 곱의 크기가 어떻게 변하는가를 이해하는지 확인합니다.
💜 곱의 소수점 위치를 두 수의 소수 아래 자리 수의 합으로 정하는 규칙을 이해하고 계산에 적용할 수 있는지 점검합니다.
💜 실생활 문제(길이, 무게, 가격 등)에서 소수의 곱셈을 적절하게 선택하고 계산할 수 있는지 확인합니다.

 

지도 방법

기초 확인: 자연수의 곱셈 원리를 다시 떠올리게 하여, ‘몇 배’와 ‘몇 분의 1배’의 의미를 연결합니다.
시각 자료 활용: 수직선을 활용해, 1보다 작은 소수를 곱했을 때 값이 작아지고 1보다 큰 소수를 곱했을 때 커지는 모습을 시각적으로 보여줍니다.
개념 탐구: 덧셈식, 분수식, 자연수식 등 여러 방법으로 소수의 곱을 표현하게 하여, 계산 원리를 스스로 발견하게 합니다.
계산 방법 지도: 자연수의 곱 → 분수의 곱 → 소수의 곱 순으로 확장하며, 곱의 소수점 위치를 두 수의 소수 아래 자리 수의 합으로 정하는 규칙을 익히게 합니다.
실생활 연계: 물건의 단가와 수량, 길이와 폭, 거리와 속도 등 실제 상황을 활용해 소수 곱셈을 적용하고, 계산 결과의 의미를 해석하게 합니다.

 

 

 

 

5단원. 직육면체

직육면체

직사각형 6개로 둘러싸인 도형을 직육면체 라고 합니다.

모양에 상관없이 직사각형 6개로 둘러싸인 도형은 모두 직육면체입니다.

 

직육면체의 구성 요소

(1) 직육면체의 구성 요소

직육면체에서 선분으로 둘러싸인 부분을 면이라 하고, 면과 면이 만나는 선분을 모서리라고 합니다. 또 모서리와 모서리가 만나는 점을 꼭짓점이라고 합니다.

 

(2) 직육면체의 구성 요소의 수

면의 수(개)	모서리의 수(개)	꼭짓점의 수(개)
6	12	8

 

※ 색칠한 면을 읽는 방법

면의 한 꼭짓점에서부터 한 방향으로 읽습니다. ➔ 면 ㄱㄴㄷㄹ, 면 ㄷㄹㅇㅅ, 면 ㄱㄴㅂㅁ, 면 ㅁㅂㅅㅇ.....

 

 

정육면체

(1) 정육면체

정사각형 6개로 둘러싸인 도형을 정육면체 라고 합니다.

(2) 정육면체의 특징

① 면의 모양과 크기가 모두 같습니다.

② 모서리의 길이가 모두 같습니다.

 

※ 정육면체의 구성 요소 (직육면체와 구성 요소가 같습니다.)

 

 

직육면체와 정육면체의 비교

	공통점			차이점
	면의 수(개)	모서리의 수(개)	꼭짓점의 수(개)	면의 모양	모서리의 길이
직육면체	6	12	8	직사각형	다릅니다.
정육면체				정사각형	모두 같습니다.

 

※ 직육면체와 정육면체의 관계

정사각형은 직사각형이라고 할 수 있으므로 정육면체는 직육면체라고 할 수 있습니다. (직육면체는 정육면체가 아닙니다.)

 

 

직육면체에서 서로 마주 보고 있는 면의 관계

그림과 같이 직육면체에서 색칠한 두 면처럼 계속 늘여도 만나지 않는 두 면을 서로 평행하다고 합니다. 이 두 면을 직육면체의 밑면(서로 마주 보고 있는 면)이라고 합니다. 직육면체에는 평행한 면이 3쌍 있고 이 평행한 면은 각각 밑면이 될 수 있습니다.

※ 직육면체의 밑면은 고정된 면이 아니라 기준이 되는 면이므로 바뀔 수 있습니다. 6개의 모든 면이 밑면이 될 수 있습니다.

 

 

직육면체에서 서로 만나는 두 면 사이의 관계

삼각자 3개를 오른쪽 그림과 같이 놓았을 때 면 ㄱㄴㄷㄹ과 면 ㄷㅅㅇㄹ, 면 ㄴㅂㅅㄷ과 면 ㄷㅅㅇㄹ, 면 ㄱㄴㄷㄹ과 면 ㄴㅂㅅㄷ은 각각 수직입니다.

직육면체에서 밑면과 수직인 면을 직육면체의 옆면(밑면과 만나는 면)이라고 합니다. (직육면체의 한 면과 수직인 면은 평행한 면을 제외한 나머지 면입니다. 모두 4개.)

 

 

직육면체의 겨냥도

(1) 직육면체의 겨냥도

직육면체 모양을 잘 알 수 있도록 나타낸 그림을 직육면체의 겨냥도라고 합니다. (보이지 않는 면, 모서리, 꼭짓점까지 모두 나타낸 것입니다.)

➔ 겨냥도에서 실선으로 그린 모서리는 9개, 점선으로 그린 모서리는 3개입니다.

 

(2) 직육면체의 겨냥도 그리기

① 보이는 모서리는 실선으로 그립니다.

② 보이지 않는 모서리는 점선으로 그립니다.

 

 

직육면체의 겨냥도에서 구성 요소의 수

면의 수(개)		모서리의 수(개)		꼭짓점의 수(개)
보이는 면	보이지 않는 면	보이는 모서리	보이지 않는 모서리	보이는 꼭짓점	보이지 않는 꼭짓점
3	3	9	3	7	1

 

※ 직육면체에서 서로 평행한 모서리의 길이는 같고, 길이가 같은 모서리는 4개씩 3쌍 있습니다.

 

 

정육면체의 전개도

(1) 정육면체의 전개도

정육면체의 모서리를 잘라서 펼친 그림을 정육면체의 전개도라고 합니다.

➔ 정육면체의 모서리를 자르는 방법에 따라 여러 가지 모양의 전개도가 나올 수 있습니다.

 

(2) 정육면체의 전개도 그리기

① 잘린 모서리는 실선으로, 잘리지 않는 모서리는 점선으로 그립니다.

② 정사각형 모양의 면 6개를 그립니다.

③ 접었을 때 서로 겹치는 면이 없도록 그립니다.

④ 모든 모서리의 길이를 같게 그립니다.

 

 

정육면체 전개도 살펴보기

전개도를 접었을 때

① 점 ㄱ과 만나는 점: 점 ㄷ, 점 ㅋ

② 선분 ㄱㄴ과 겹치는 선분: 선분 ㄷㄴ

③ 면 가와 평행한 면: 면 바 (면 나, 면 라가 서로 평행, 면 다, 면 마가 서로 평행)

④ 면 나와 수직인 면: 면 가, 면 다, 면 마, 면 바

 

※ 전개도를 접었을 때 서로 평행한 면이 3쌍, 한 면과 수직인 면이 4개입니다.

 

 

직육면체의 전개도

(1) 직육면체의 전개도

직육면체의 모서리를 잘라서 펼친 그림을 직육면체의 전개도라고 합니다.

(2) 직육면체의 전개도 그리기

① 잘린 모서리는 실선으로, 잘리지 않는 모서리는 점선으로 그립니다.

② 서로 마주 보는 면 3쌍의 모양과 크기를 같게 그립니다.

③ 접었을 때 서로 겹치는 면이 없도록 그립니다.

④ 접었을 때 서로 만나는 모서리의 길이를 같게 그립니다.

 

 

직육면체의 전개도 살펴보기

 

전개도를 접었을 때

① 점 ㄷ과 만나는 점: 점 ㄱ, 점 ㅋ

② 선분 ㄷㄹ과 겹치는 선분: 선분 ㅋㅊ

③ 면 나와 평행한 면: 면 라 (면 가, 면 바가 서로 평행, 면 다, 면 마가 서로 평행)

④ 면 다와 수직인 면: 면 가, 면 나, 면 라, 면 바

 

※ 전개도를 접었을 때 한 꼭짓점에서 만나는 모서리는 모두 3개이고, 한 꼭짓점에서 만나는 면은 모두 3개입니다.

 

1학기와의 연결

3학년 2학기에는 원의 성질(반지름, 지름, 원의 특징) 을 배우며 평면도형의 기본 개념을 익혔습니다.
4학년 1학기에는 각의 크기를 재고, 직각·예각·둔각, 평행과 수직의 개념을 학습했습니다.
4학년 2학기에는 여러 가지 삼각형과 사각형의 성질, 다각형과 대각선의 관계를 탐구하며 도형의 구조적 특징을 이해했습니다.
5학년 1학기에는 다각형의 둘레와 넓이를 배우며, 평면도형의 크기를 단위(제곱센티미터, 제곱미터, 제곱킬로미터)로 측정하는 활동을 했습니다.

5학년 2학기에는 이러한 기초를 바탕으로 입체도형인 직육면체와 정육면체를 학습합니다. 면·모서리·꼭짓점의 관계를 이해하고, 서로 평행하거나 수직인 면의 성질을 탐구합니다. 또한 겨냥도와 전개도를 그리며 입체도형을 다양한 시각에서 표현하고, 공간적 구조를 종합적으로 이해합니다.

점검 포인트

💜 평균을 ‘자료의 합 ÷ 자료의 수’로 계산하는 원리를 이해하는지 확인합니다.
💜 자료의 값을 비교할 때 평균보다 크거나 작은 경우를 구분할 수 있는지 살펴봅니다.
💜 평균을 이용해 모르는 자료의 값을 추론할 수 있는지 점검합니다.
💜 ‘불가능하다~확실하다’의 가능성 정도를 상황에 맞게 올바르게 표현할 수 있는지 확인합니다.
💜 일어날 가능성을 말로뿐만 아니라 수(0~1 사이의 수)로 나타낼 수 있는지 점검합니다.

지도 방법

기초 개념 연결: 3·4학년 때 배운 ‘자료의 표현’ 단원을 복습하며, 평균이 왜 자료를 대표하는 수가 되는지 직관적으로 이해하도록 합니다.
시각 자료 활용: 막대그래프, 표, 그림 자료를 이용해 ‘자료의 합’과 ‘자료의 수’를 시각적으로 보여주며 평균 계산 과정을 구체적으로 지도합니다.
비교 활동 중심: 평균보다 크거나 작은 자료를 색으로 표시하거나, 막대 길이 비교로 표현하여 평균의 의미를 시각적으로 느끼게 합니다.
가능성 표현 활동: 회전판, 주사위, 동전 던지기 등 실험을 통해 ‘불가능하다’, ‘~일 것 같다’, ‘확실하다’ 등의 표현을 실제 상황과 연결지어 익히게 합니다.
수로 표현 연습: 가능성의 정도를 0, 1/2, 1과 같은 수로 나타내어 비교하고, 어떤 상황이 더 일어날 가능성이 높은지 수학적으로 판단하는 활동을 합니다.
실생활 연계: 학생들의 시험 점수 평균, 운동 기록 평균, 날씨 예보 등 생활 속 자료를 활용하여 평균과 가능성의 개념이 실제로 어떻게 쓰이는지 탐구하게 합니다.

 

 

 

 

6단원. 평균과 가능성

평균 구하기

자료의 값을 모두 더해 자료의 수로 나눈 값을 그 자료를 대표하는 값으로 정할 수 있습니다. 이 값을 평균이라고 합니다.

(평균) ＝ (자료의 값을 모두 더한 수) ÷ (자료의 수)

 

예) 지후네 모둠의 줄넘기 기록의 평균 구하기

지후네 모둠의 줄넘기 기록

이름	지후	영훈	지율	유나
기록(개)	8	10	8	6

 

① 각 자료의 값을 고르게 하여 평균 구하기

평균을 8개로 예상한 후 (8, 8), (10, 6)으로 수를 옮기고 짝 지어 자료의 값을 고르게 하여 구한 줄넘기 기록의 평균은 8개입니다.

② 자료의 값을 모두 더해 자료의 수로 나누어 평균 구하기

(줄넘기 기록의 평균) ＝ (8＋10＋8＋6) ÷ 4 ＝ 32 ÷ 4 ＝ 8(개)

 

※ 평균과 자료의 값 비교하기

(평균) ＞ (자료의 값)	(평균) ＜ (자료의 값)
자료의 값이 평균보다 낮은(적은) 편	자료의 값이 평균보다 높은(많은) 편

 

 

평균 비교하기

예) 한 명당 모은 빈 병 수가 가장 많은 모둠 구하기

	가 모둠	나 모둠	다 모둠
모둠 친구 수(명)	4	5	3
모은 빈 병 수(개)	24	25	21

 

(가 모둠이 모은 빈 병 수의 평균) ＝ 24 ÷ 4 ＝ 6(개)

(나 모둠이 모은 빈 병 수의 평균) ＝ 25 ÷ 5 ＝ 5(개)

(다 모둠이 모은 빈 병 수의 평균) ＝ 21 ÷ 3 ＝ 7(개)

➔ 한 명당 모은 빈 병 수가 가장 많은 모둠은 다 모둠입니다.

 

 

평균을 이용하여 모르는 자료의 값 구하기

예) 상희네 모둠의 수학시험 점수의 평균이 85점일 때 도경이의 점수 구하기

이름	상희	지안	준수	도경
점수	92	88	76

 

(수학시험 점수의 합) ＝ 85 × 4 ＝ 340(점)

➔ (도경이의 점수) ＝ 340 － (92＋88＋76) ＝ 340 － 256 ＝ 84 (점)

 

※ (자료의 값을 모두 더한 수) ＝ (평균) × (자료의 수)

 

 

일이 일어날 가능성을 말로 표현하기

가능성은 어떠한 상황에서 특정한 일이 일어나길 기대할 수 있는 정도를 말합니다. 가능성의 정도는 불가능하다. ~아닐 것 같다. 반반이다. ~일 것 같다. 확실하다 등으로 표현할 수 있습니다.

예)

일 / 가능성	불가능하다	~아닐 것 같다	반반이다	~일 것 같다	확실하다
5월 1일 다음 날은 5월 2일일 것입니다.					🔴
내일 아침에 해가 서쪽에서 뜰 것입니다.	🔴
동전을 던지면 그림 면이 나올 것입니다.			🔴

 

※ 일이 일어날 가능성의 정도

 

 

일이 일어날 가능성을 비교하기

예) 회전판을 돌릴 때 화살이 노란색에 멈출 가능성을 비교하기

회전판
가능성	불가능하다	~아닐 것 같다	반반이다	~일 것 같다	확실하다

 

➔ 화살이 노란색에 멈출 가능성이 높은 회전판부터 차례로 기호를 쓰면 마, 라, 다, 나, 가입니다.

 

※ 일이 일어날 가능성을 비교하는 방법

(일이 일어날 가능성을 판단하기) ➔ (일이 일어날 가능성을 비교하기)

 

 

일이 일어날 가능성을 수로 표현하기

일이 일어날 가능성이 '불가능하다'이면 0으로, '반반이다'이면 2분의 1로, '확실하다'이면 1로 표현할 수 있습니다.

※ 일이 일어날 가능성이 '~아닐 것 같다'는 0보다 크고 2분의 1보다 작은 수로, ~일 것 같다'는 2분의 1보다 크고 1보다 작은 수로 표현할 수 있습니다.

 

 

1학기와의 연결

2학년 2학기와 3학년 2학기에는 표와 그림그래프 를 이용해 자료를 모으고 읽는 방법을 배웠습니다.
4학년에는 꺾은선그래프를 통해 자료의 변화와 경향을 살펴보며, 자료를 해석하고 비교하는 경험을 했습니다.

5학년 2학기에는 이러한 자료 이해 경험을 바탕으로 ‘평균’을 처음으로 배우고, 이어서 ‘가능성’ 개념을 학습합니다.
자료를 대표하는 수인 ‘평균’을 구하고 해석하는 방법을 익히며, 주어진 자료를 수학적으로 요약하는 능력을 기릅니다. 이어서 가능성 단원에서는 어떤 일이 일어날 확률적 정도를 비교하고, 말이나 수로 표현하는 연습을 합니다.

점검 포인트

💜 평균을 ‘자료의 합 ÷ 자료의 수’로 계산하는 원리를 이해하는지 확인합니다.
💜 자료의 값을 비교할 때 평균보다 크거나 작은 경우를 구분할 수 있는지 살펴봅니다.
💜 평균을 이용해 모르는 자료의 값을 추론할 수 있는지 점검합니다.
💜 ‘불가능하다~확실하다’의 가능성 정도를 상황에 맞게 올바르게 표현할 수 있는지 확인합니다.
💜 일어날 가능성을 말로뿐만 아니라 수(0~1 사이의 수)로 나타낼 수 있는지 점검합니다.

지도 방법

기초 개념 연결: 3·4학년 때 배운 ‘자료의 표현’ 단원을 복습하며, 평균이 왜 자료를 대표하는 수가 되는지 직관적으로 이해하도록 합니다.
시각 자료 활용: 막대그래프, 표, 그림 자료를 이용해 ‘자료의 합’과 ‘자료의 수’를 시각적으로 보여주며 평균 계산 과정을 구체적으로 지도합니다.
비교 활동 중심: 평균보다 크거나 작은 자료를 색으로 표시하거나, 막대 길이 비교로 표현하여 평균의 의미를 시각적으로 느끼게 합니다.
가능성 표현 활동: 회전판, 주사위, 동전 던지기 등 실험을 통해 ‘불가능하다’, ‘~일 것 같다’, ‘확실하다’ 등의 표현을 실제 상황과 연결지어 익히게 합니다.
수로 표현 연습: 가능성의 정도를 0, 1/2, 1과 같은 수로 나타내어 비교하고, 어떤 상황이 더 일어날 가능성이 높은지 수학적으로 판단하는 활동을 합니다.
실생활 연계: 학생들의 시험 점수 평균, 운동 기록 평균, 날씨 예보 등 생활 속 자료를 활용하여 평균과 가능성의 개념이 실제로 어떻게 쓰이는지 탐구하게 합니다.

 

 

 

 

글을 맺으며

5학년 2학기는 계산이 복잡해지고, 도형과 자료의 개념도 한층 깊어지는 시기입니다. 소수의 곱셈과 나눗셈, 합동과 대칭, 평균과 가능성 등에서 아이들은 단순히 문제를 푸는 법을 넘어서 수학을 이해하는 힘을 키워 갑니다.

이제는 식을 외워서 푸는 것보다, ‘이 계산이 어떤 뜻인지’, ‘이 도형이 왜 이렇게 생겼는지’를 스스로 생각하는 과정이 중요합니다. 답을 맞히는 것보다, 생각이 단단해지는 과정이 이 시기의 목표입니다.

가정에서는 복잡한 문제보다는, 일상 속에서 수학을 연결해 보는 게 도움이 됩니다. 물건 값을 어림하거나, 대칭이 된 물체를 찾아보거나, 가족의 키를 평균 내보는 정도면 충분합니다. 이렇게 생활과 함께하는 수학이, 다음 학년의 비례식과 분수 나눗셈으로 자연스럽게 이어집니다.

 

 

 

 

 

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